Proč mají matematici rádi odmocninu
Autor: administrator <secret(at)sds.cz>, Téma: 02. Články, statě, projevy, Zdroj: Gazeta wyborcza, Vydáno dne: 29. 06. 2007
Odmocninový systém je jediný, při němž má každý obyvatel Evropy stejný vliv na rozhodnutí EU, nezávisle na zemi, z níž pochází.Moderní demokracie je demokracií nepřímou. O všech společenských a politických problémech nerozhodujeme sami, ale vybíráme si k tomu své zástupce. Považujeme za normální (a slušné!), že spravedlivou je zásada "jeden obyvatel - jeden hlas".
Demokraticky nebo spravedlivě?
A jak přidělit hlasy členům Evropské unie? Pokud by se považovala EU za svazek rovnocenných států, pak by byla spravedlivá zásada "jeden stát - jeden hlas". Státy však stejné nejsou - liší se už jenom počtem obyvatel. To musí zohlednit počet hlasů, jimiž daný stát disponuje.
Systém "dvojí majority" (zohledňující jak počet obyvatel, tak "rovnost" jednotlivých zemí) vytváří dojem jednoduchosti a spravedlnosti, ale je ve skutečnosti výhodný jen pro země velké (Německo, Francie, Velká Británie, Itálie) a země velmi malé. Je stejně (ne-li více) nespravedlivý ve srovnání s závazným systémem ve smlouvě z Nice. Systém z Nice je pro Polsko výhodný, systém zapsaný v návrhu ústavy je výhodný pro Německo, ale nespravedlivé jsou oba.
Existuje vůbec spravedlivý systém? Pokud přijmeme, že spravedlivý je takový podíl hlasů jednotlivých zemí, kdy každý obyvatel EU - nezávisle na zemi, z níž pochází - má stejný vliv na rozhodnutí EU, pak nám matematika nedává na výběr. Počet hlasů dané země musí být úměrný druhé odmocnině počtu jejích obyvatel. O tom se ví alespoň od 50. let z prací britského matematika Lionela Penrose.
Spravedlivě, tedy nerovně
Proč zrovna odmocnina? Jednotlivý obyvatel velkého státu má menší vliv na výběr svého představitele než obyvatel malého státu (jeden hlas z 1 tisíce má menší váhu než jeden hlas z 10). Je to podobné, jako když náš jediný hlas má menší vliv na volbu prezidenta než - dejme tomu - na předsedu podnikové rady.
Z počtu pravděpodobnosti vyplývá, že toto "oslabení" jednotlivého obyvatele je nepřímo úměrné druhé odmocnině z počtu obyvatel. Abychom to kompenzovali, musí mít jeho stát počet hlasů úměrný této odmocnině - aby tedy hlas každého obyvatele EU vážil stejně - což jsme uznali za spravedlivé.
Síla je nejen v počtu
Počet hlasů dané země není zdaleka to samé jako síla jeho hlasů. Uvažujme valnou hromadu akciové společnosti, kde se rozhodnutí přijímají většinou hlasů. Akcionář, který shromáždil 51% hlasů, vyhrává všechna hlasování. Síla hlasů ostatních akcionářů je rovna nule, i když mají v součtu počet hlasů (49%) srovnatelný s hlavním akcionářem. Nemají vliv na žádná přijímaná rozhodnutí! Síla hlasu nezávisí jen na počtu akcií, ale i na rozhodovacím prahu. Pokud je k přijetí rozhodnutí zapotřebí většiny dvou třetin hlasů, začnou mít na rozhodování společnosti vliv i ostatní akcionáři.
Zdá se být přirozené, aby se v případě členských států EU měřila síla hlasu dané země počtem koalic (blokujících či prosazujících), v nichž je daný stát důležitým článkem.
Podstata tzv. jagelonského kompromisu, navrženého polskými vědci Wojciechem Słomczyńským a Karolem Życzkowským z Jagelonské univerzity, vycházejícího z odmocninového systému, spočívá v takovém výběru prahu "kvalifikované většiny", aby byla síla hlasu dané země rovna počtu jeho hlasů. V aktuální situaci 27 států EU má tento práh hodnotu 61,6%. Jinak řečeno, aby rezoluce prošla, musí být součet hlasů států hlasujících "pro" větší než 61,6%.
Tento kompromis umožňuje vyhnout se jak situacím, kdy malá skupina velkých zemí diktuje podmínky, tak situacím, kdy malá skupina malých zemí může blokovat všechna rozhodnutí. Systém "dvojí většiny" tak jednoduché zhodnocení síly jednotlivých zemí neumožňuje.
Ať už padne v této věci jakékoliv rozhodnutí, je potěšitelné, že se matematika tentokrát trefila do černého. Konec konců středoškolská matematika vzbuzuje ve společnosti tolik emocí jen málokdy.
Arkadiusz Orłowski - matematik z Katedry informatiky SGGW a Fyzikálního ústavu Polské AV
Gazeta Wyborcza, 21. 6. 2007
Síla hlasu států v EU
| Stát | podle ústavní smlovy | podle smlouvy z Nice | podle systému stejného vlivu |
| Německo | 11,65% | 7,78% | 9,13% |
| Francie | 9,02% | 7,78% | 8,00% |
| Velká Británie | 8,69% | 7,78% | 7,84% |
| Itálie | 8,49% | 7,78% | 7,73% |
| Španělsko | 6,55% | 7,42% | 6,70% |
| Polsko | 5,71% | 7,42% | 6,27% |
| Rumunsko | 4,16% | 4,26% | 4,77% |
| Holandsko | 3,50% | 3,97% | 4,18% |
| Řecko | 2,87% | 3,97% | 3,49% |
| Portugalsko | 2,81% | 3,97% | 3,41% |
| Belgie | 2,80% | 3,97% | 3,40% |
| Česko | 2,77% | 3,97% | 3,36% |
| Maďarsko | 2,75% | 3,97% | 3,33% |
| Švédsko | 2,62% | 3,09% | 3,17% |
| Rakousko | 2,53% | 3,09% | 3,04% |
| Bulharsko | 2,46% | 3,09% | 2,95% |
| Dánsko | 2,19% | 2,18% | 2,51% |
| Slovensko | 2,19% | 2,18% | 2,50% |
| Finsko | 2,17% | 2,18% | 2,47% |
| Irsko | 2,04% | 2,18% | 2,24% |
| Litva | 1,95% | 2,18% | 2,03% |
| Lotyšsko | 1,81% | 1,25% | 1,71% |
| Slovinsko | 1,78% | 1,25% | 1,61% |
| Estonsko | 1,70% | 1,25% | 1,36% |
| Kypr | 1,63% | 1,25% | 1,08% |
| Lucembursko | 1,59% | 1,25% | 0,88% |
| Malta | 1,58% | 0,94% | 0,84% |
Z originálu Dlaczego matematycy lubią pierwiastek pro stránky SDS přeložil Milan Neubert.
Poznámka SDS:
Krátký příspěvek k důvodům zavedení odmocniny ZDE.