Proč mají matematici rádi odmocninu
Autor: administrator <secret(at)sds.cz>, Téma: 02. Články, statě, projevy, Zdroj: Gazeta wyborcza, Vydáno dne: 29. 06. 2007
Odmocninový systém je jediný, při něm má kadý obyvatel Evropy stejný vliv na rozhodnutí EU, nezávisle na zemi, z ní pochází.Moderní demokracie je demokracií nepřímou. O vech společenských a politických problémech nerozhodujeme sami, ale vybíráme si k tomu své zástupce. Povaujeme za normální (a sluné!), e spravedlivou je zásada "jeden obyvatel - jeden hlas".
Demokraticky nebo spravedlivě?
A jak přidělit hlasy členům Evropské unie? Pokud by se povaovala EU za svazek rovnocenných států, pak by byla spravedlivá zásada "jeden stát - jeden hlas". Státy vak stejné nejsou - lií se u jenom počtem obyvatel. To musí zohlednit počet hlasů, jimi daný stát disponuje.
Systém "dvojí majority" (zohledňující jak počet obyvatel, tak "rovnost" jednotlivých zemí) vytváří dojem jednoduchosti a spravedlnosti, ale je ve skutečnosti výhodný jen pro země velké (Německo, Francie, Velká Británie, Itálie) a země velmi malé. Je stejně (ne-li více) nespravedlivý ve srovnání s závazným systémem ve smlouvě z Nice. Systém z Nice je pro Polsko výhodný, systém zapsaný v návrhu ústavy je výhodný pro Německo, ale nespravedlivé jsou oba.
Existuje vůbec spravedlivý systém? Pokud přijmeme, e spravedlivý je takový podíl hlasů jednotlivých zemí, kdy kadý obyvatel EU - nezávisle na zemi, z ní pochází - má stejný vliv na rozhodnutí EU, pak nám matematika nedává na výběr. Počet hlasů dané země musí být úměrný druhé odmocnině počtu jejích obyvatel. O tom se ví alespoň od 50. let z prací britského matematika Lionela Penrose.
Spravedlivě, tedy nerovně
Proč zrovna odmocnina? Jednotlivý obyvatel velkého státu má mení vliv na výběr svého představitele ne obyvatel malého státu (jeden hlas z 1 tisíce má mení váhu ne jeden hlas z 10). Je to podobné, jako kdy ná jediný hlas má mení vliv na volbu prezidenta ne - dejme tomu - na předsedu podnikové rady.
Z počtu pravděpodobnosti vyplývá, e toto "oslabení" jednotlivého obyvatele je nepřímo úměrné druhé odmocnině z počtu obyvatel. Abychom to kompenzovali, musí mít jeho stát počet hlasů úměrný této odmocnině - aby tedy hlas kadého obyvatele EU váil stejně - co jsme uznali za spravedlivé.
Síla je nejen v počtu
Počet hlasů dané země není zdaleka to samé jako síla jeho hlasů. Uvaujme valnou hromadu akciové společnosti, kde se rozhodnutí přijímají větinou hlasů. Akcionář, který shromádil 51% hlasů, vyhrává vechna hlasování. Síla hlasů ostatních akcionářů je rovna nule, i kdy mají v součtu počet hlasů (49%) srovnatelný s hlavním akcionářem. Nemají vliv na ádná přijímaná rozhodnutí! Síla hlasu nezávisí jen na počtu akcií, ale i na rozhodovacím prahu. Pokud je k přijetí rozhodnutí zapotřebí větiny dvou třetin hlasů, začnou mít na rozhodování společnosti vliv i ostatní akcionáři.
Zdá se být přirozené, aby se v případě členských států EU měřila síla hlasu dané země počtem koalic (blokujících či prosazujících), v nich je daný stát důleitým článkem.
Podstata tzv. jagelonského kompromisu, navreného polskými vědci Wojciechem Słomczyńským a Karolem Życzkowským z Jagelonské univerzity, vycházejícího z odmocninového systému, spočívá v takovém výběru prahu "kvalifikované větiny", aby byla síla hlasu dané země rovna počtu jeho hlasů. V aktuální situaci 27 států EU má tento práh hodnotu 61,6%. Jinak řečeno, aby rezoluce prola, musí být součet hlasů států hlasujících "pro" větí ne 61,6%.
Tento kompromis umoňuje vyhnout se jak situacím, kdy malá skupina velkých zemí diktuje podmínky, tak situacím, kdy malá skupina malých zemí můe blokovat vechna rozhodnutí. Systém "dvojí větiny" tak jednoduché zhodnocení síly jednotlivých zemí neumoňuje.
A u padne v této věci jakékoliv rozhodnutí, je potěitelné, e se matematika tentokrát trefila do černého. Konec konců středokolská matematika vzbuzuje ve společnosti tolik emocí jen málokdy.
Arkadiusz Orłowski - matematik z Katedry informatiky SGGW a Fyzikálního ústavu Polské AV
Gazeta Wyborcza, 21. 6. 2007
Síla hlasu států v EU
| Stát | podle ústavní smlovy | podle smlouvy z Nice | podle systému stejného vlivu |
| Německo | 11,65% | 7,78% | 9,13% |
| Francie | 9,02% | 7,78% | 8,00% |
| Velká Británie | 8,69% | 7,78% | 7,84% |
| Itálie | 8,49% | 7,78% | 7,73% |
| panělsko | 6,55% | 7,42% | 6,70% |
| Polsko | 5,71% | 7,42% | 6,27% |
| Rumunsko | 4,16% | 4,26% | 4,77% |
| Holandsko | 3,50% | 3,97% | 4,18% |
| Řecko | 2,87% | 3,97% | 3,49% |
| Portugalsko | 2,81% | 3,97% | 3,41% |
| Belgie | 2,80% | 3,97% | 3,40% |
| Česko | 2,77% | 3,97% | 3,36% |
| Maďarsko | 2,75% | 3,97% | 3,33% |
| védsko | 2,62% | 3,09% | 3,17% |
| Rakousko | 2,53% | 3,09% | 3,04% |
| Bulharsko | 2,46% | 3,09% | 2,95% |
| Dánsko | 2,19% | 2,18% | 2,51% |
| Slovensko | 2,19% | 2,18% | 2,50% |
| Finsko | 2,17% | 2,18% | 2,47% |
| Irsko | 2,04% | 2,18% | 2,24% |
| Litva | 1,95% | 2,18% | 2,03% |
| Lotysko | 1,81% | 1,25% | 1,71% |
| Slovinsko | 1,78% | 1,25% | 1,61% |
| Estonsko | 1,70% | 1,25% | 1,36% |
| Kypr | 1,63% | 1,25% | 1,08% |
| Lucembursko | 1,59% | 1,25% | 0,88% |
| Malta | 1,58% | 0,94% | 0,84% |
Z originálu Dlaczego matematycy lubiš pierwiastek pro stránky SDS přeloil Milan Neubert.
Poznámka SDS:
Krátký příspěvek k důvodům zavedení odmocniny ZDE.