Míra pohybu - práce^[1]

„Naproti tomu jsem až dosud vždy zjistil, že základní pojmy tohoto oboru (t. j. „základní fysikální pojmy práce a její neproměnnost”) se zdají velmi těžko pochopitelné těm osobám, které neprošly školou matematické mechaniky, přes všechnu jejich horlivost, inteligenci a i při dost vysoké úrovni jejich přírodovědeckých znalostí. Nelze si též nepovšimnout toho, že jsou to abstrakce zcela zvláštního druhu. Dokonce i takovému mysliteli, jako I. Kantovi se jejich pochopení nezdařilo bez potíží, jak potvrzuje polemika vedená proti Leibnizovi.” To říká Helmholtz (Populäre wissenschaftliche Vorträge, II, předmluva).^[2]

Podle toho se nyní odvažujeme na velmi nebezpečné pole, tím spíše, že si dost dobře nemůžeme dovolit vést čtenáře „školou matematické mechaniky”. Ale snad se ukáže, že tam, kde jde o pojmy, dokáže dialektické myšlení nejméně tolik jako matematické výpočty.

Galilei objevil jednak zákon pádu, podle něhož dráha proběhnutá padajícími tělesy je úměrná čtvercům doby pádu. Vedle toho vyslovil, jak uvidíme, poučku, ne zcela odpovídající onomu zákonu, že hybnost tělesa (jeho impeto nebo momento) je určena hmotou a rychlostí, takže je při konstantní hmotě úměrná rychlosti. Descartes přijal tuto druhou poučku a učinil součin hmoty a rychlosti pohybujícího se tělesa zcela obecně mírou jeho pohybu.

Huygens objevil již dříve, že při elastickém nárazu je součet součinů hmot a čtverců rychlostí stejný před nárazem i po něm a že analogický zákon platí i pro různé jiné případy pohybu těles spojených v jednu soustavu.

Leibniz první poznal, že Descartova míra pohybu je v rozporu se zákonem pádu. Na druhé straně nebylo možno popřít, že Descartova míra pohybu je v mnoha případech správná.

Leibniz tedy rozdělil pohybové síly na mrtvé a živé. Mrtvé síly byly „tlaky”, nebo „tahy” těles v klidu a jejich mírou byl součin hmoty a rychlosti, s níž by se těleso pohybovalo, kdyby přešlo z klidu do pohybu. Naproti tomu mírou živé síly - skutečného pohybu tělesa - stanovil součin hmoty a čtverce rychlosti. A právě tuto novou míru odvodil přímo ze zákona pádu. „Téže síly je zapotřebí,” tak soudil Leibniz, „abychom zvedli těleso o váze čtyři libry do výše jedné stopy, jako ke zvednutí tělesa o váze jedné libry do výše čtyř stop; avšak dráhy jsou úměrné čtverci rychlosti, neboť padá-li těleso s výše čtyř stop, získalo dvojnásobnou rychlost oproti pádu s jedné stopy. Při pádu získávají však tělesa sílu vystoupit do téže výše, s níž spadla; tedy síly jsou úměrné čtverci rychlosti” (Suter, Geschichte der mathematischen Wissenschaften, II, str. 367)^[3].

Dále však dokázal, že míra pohybu mv je v rozporu s Descartovou poučkou o konstantnosti kvantity pohybu, tím, že kdyby skutečně platila, síla (t. j. množství pohybu) by se v přírodě neustále zvětšovala a zmenšovala. Dokonce navrhl přístroj („Acta Eruditorium”^[4], 1690), který by musil, kdyby míra pohybu mv byla správná, nepřetržitě dávat novou sílu, tedy představovat perpetuum mobile, což je přece absurdní. Helmholtz použil v novější době mnohokrát tohoto způsobu argumentace.

Descartovci protestovali ze všech sil a rozvinul se pověstný dlouholetý spor, kterého se zúčastnil i Kant svým prvním spisem (Gedanken von der wahren Schätzung der lebendigen Kräfte^[5], 1746), aniž se ve věci jasně vyznal. Dnešní matematikové se dívají s jistou dávkou pohrdání na tento „neplodný” spor, který se „táhl skoro 40 let a který rozdělil evropské matematiky na dva nepřátelské tábory, až konečně d'Alembert svým Traité de dynamique^[6] (1743) zakončil opravdu suverenním řešením tento zbytečný slovní spor^[7], neboť o nic jiného zde nešlo” (Suter, cit. spis, str. 366).

Zdálo by se však, že sporná otázka nespočívala tak docela na zbytečném slovním sporu, byla-li postavena takovým myslitelem jako Leibnizem proti takovému mysliteli jako Descartovi a zaměstnávala-li takového muže, jako byl Kant, natolik, že jí věnoval svůj první spis, dosti tlustý svazek. A skutečně, jak se to rýmuje, že pohyb má dvě různé, odporující si míry, úměrné jednou rychlosti, po druhé čtverci rychlosti? Suter si problém příliš usnadňuje; říká, že obě strany měly pravdu a obě se mýlily: „Nicméně se výraz ,živá síla‘ udržel až do dneška: ale neplatí již jako míra síly,^[8] nýbrž je prostě jednou zavedeným označením pro součin hmoty a čtverce rychlosti, tak významný pro mechauiku” (str. 368). Tedy mv zůstává mírou pohybu a živá síla je jen jiný výraz pro mv²/ 2, o kterémžto vzorci se sice dovídáme, že je pro mechaniku velmi důležitý, ale o němž teď už vůbec nevíme, co vlastně znamená.

Chopme se tedy spásného „Traité de dynamique” a podívejme se blíže na d’Alembertovo „suverénní řešení”; je obsaženo v předmluvě. V textu, dočteme se tam, se celá otázka vůbec nevyskytuje, pro l’inutilité parfaite dont elle est pour la mécanique [protože je pro mechaniku naprosto nepotřebná]. To je pro čistou matematickou mechaniku naprosto správné, při ní jsou, jak jsme viděli již u Sutera, jmenná označení jen jiné výrazy pro algebraické vzorce, názvy, při nichž je nejlépe si nemyslet nic. - A přesto, protože se touto otázkou zabývali tak význační lidé, chce ji d’Alembert v předmluvě přece jen krátce prozkoumat. Jasnost myšlení vyžaduje, abychom si pod silou pohybujících se těles představovali jen jejich vlastnost, že překonávají překážky nebo jim odporují. Tedy sílu nelze měřit ani pomoci mv, ani mv², nýbrž jedině překážkami a jejich odporem.

Existují tři druhy překážek: 1. nepřekonatelné, které pohyb dokonale ničí a které tedy již proto nepřicházejí v úvahu; 2. překážky, jejichž odpor právě stačí, aby se pohyb zastavil,. a činí tak okamžitě: případ rovnováhy; 3. překážky, ,které pohyb zastaví jen poznenáhlu: případ zpomaleného pohybu. „Or tout le monde convient qu’il y a équilibre entre deux corps, quand les produits de leurs masses par leurs vitesses virtuelles, c’est à dire par les vitesses avec lesquelles ils tendent à se mouvoir, sont égaux de part et d’autre. Donc dans l’équilibre le produit de la masse par la vitesse, ou, ce qui est la même chose, la quantité de mouvement, peut représenter la force. Tout le monde convient aussi que dans le mouvement retardé, le nombre des obstacles vaincus est comme le carré de la vitesse, en sorte qu’un corps qui a fermé un ressort, par exemple avec une certaine vitesse, pourra, avec une vitesse double, fermer ou tont à la fois, ou successivement, non pas deux, mais quatre ressorts semblables au premier, neuf avec une vitesse triple, et ainsi du reste. D’où les partisans des forces vives (die Leibnizianer) eoncluent que la force des corps qui se meuvent actuellement, est en général comme le produit de la masse par le carré de la vitesse. Au fond, quel inconvénient pourrait-il y avoir, à ce que la mesure des forces fût différente dans l’équilibre et dans le mouvement retardé, puisque, si on veut ne raisonner que d’après des ideés claires, on doit n’entendre par le mot force que l’effet produit en surmontant l’obstacle ou en lui résistant?” [„Každý bude souhlasit s tím, že dvě,tělesa jsou v rovnováze, když jsou si rovny součiny jejich hmot s virtuálními rychlostmi, t. j. s rychlostmi, kterými se snaží se pohybovat. Tedy při rovnováze součin hmoty a rychlosti, nebo, což je totéž, množství pohybu, může representovat sílu. Každý bude také souhlasit s tím, že v případě zpomaleného pohybu počet překonaných překážek je úměrný čtverci rychlosti, takže na př. těleso, které při určité rychlosti stlačilo jedno pero, při rychlosti dvojnásobné by mohlo stlačit najednou nebo postupně ne dvě, nýbrž čtyři pera podobná onomu prvnímu, při rychlosti trojnásobné devět atd. Zastánci živé síly (leibnizovci) z toho usuzují, že síla skutečně se pohybujícího tělesa je obecně úměrná součinu hmoty se čtvercem rychlosti. A opravdu, co by bylo na závadu tomu, aby míra sil byla jiná v případě rovnováhy a jiná v případě zpomaleného pohybu? Neboť jestliže chceme uvažoval jen v jasných pojmech, můžeme pod slovem síla rozumět jen efekt, podaný při překonávaní překážek nebo kladení odporu jim.”] (Předmluva, str. 19-20 originálního francouzského vydání.)

D’Alembert je však přece jenom příliš filosofem, aby neviděl, že tak snadno se rozporu dvojí míry jedné a téže síly nezbaví. Když tedy opakoval v zásadě jen totéž, co už předtím řekl Leibniz, neboť jeho „équilibre” [rovnováha] je totéž, co Leibnizovy „mrtvé tlaky”, přechází najednou na stranu descartovců a nalézá toto východisko: Součin mv může sloužit jako míra pohybu i u zpomaleného pohybu, „si dans le dernier cas on mesure la force, non par la quantité absolue des obstacles, mais par la somme des résistances de ces mêmes obstacles. Car on ne saurait douter, que cette somme des résistances ne soit proportionelle à la quantité du mouvement (mv), puisque, de l’aveu de tout le monde, la quantité du mouvement que le corps perd à chaque instant, est proportionelle au produit de la résistance par la durée infiniment petite de l’instant, et que la somme de ces produits est évidemment la résistance totale” [„jestliže v tomto posledním případě neměříme sílu absolutním množstvím překážek, nýbrž součtem odporů těchto překážek. Neboť nelze pochybovat, že by tento součet nebyl úměrný velikosti pohybu (mv),^[9] neboť, jak s tím bude každý souhlasit, množství pohybu ztráceného tělesem v každém okamžiku je úměrné součinu odporu a nekonečně malého trvání tohoto okamžiku a součet všech těchto součinů se zřejmě rovná úhrnu odporu”]. Tento poslední způsob výpočtu se mu zdá přirozenější, „car un obstacle n’est tel qu’en tant qu’il résiste, et c’est, à proprement parler, la somme des résistances qui est l’obstacle vaincu; d’ailleurs, en estimant ainsi la force, on a l’avantage d’avoir pour l’équilibre et pour le mouvement retardé une mesure commune” [„neboť překážka je překážkou jen potud, pokud klade odpor, a součet odporu je vlastně překonanou překážkou; kromě toho, budeme-li takto určovat sílu, budeme ve výhodě, neboť budeme mít společnou míru pro rovnováhu a pro pohyb”] (str. 21).

Každý si to může brát, jak chce. A když se domnívá, že takto otázku rozluštil matematickým trikem - jak přiznává sám Suter - zakončuje nepříjemnými poznámkami o konfusi, která vládla u jeho předchůdců, a tvrdí, že po jeho hořejších poznámkách je možná už jen velmi neplodná metafysická diskuse nebo ještě méně důstojný spor o slovíčka.

D’Alembertův smířlivý návrh spočívá na tomto výpočtu:

Hmota 1 s rychlostí 1 stlačí v jednotce času 1 pero.

Hmota 1 s rychlostí 2 stlačí 4 pera, ale potřebuje k tomu 2 časové jednotky, tedy v jednotce času jsou stlačena jen 2 pera.

Hmota 1 s rychlostí 3 stlačí 9 per ve 3 časových jednotkách, v jednotce časové stlačí tedy jen 3 pera.

Dělíme-li účinek časem k tomu nutným, dostaneme se od mv² opět k mv.

Je to týž argument, kterého zejména již dříve použil Catelan proti Leibnizovi: Těleso s rychlostí 2 vystoupí sice proti tíži do čtyřnásobné výšky oproti tělesu s rychlostí 1; potřebuje však k tomu dvojnásobné doby, proto musíme množství pohybu dělit dvěma a je rovno 2, a nikoli 4. A to je ku podivu také názor Suterův, který právě vzal výrazu „živá síla” všechen logický význam a ponechal mu jen význam matematický. To je ostatně přirozené. Suterovi jde o záchranu vzorce mv ve významu jediné míry množství pohybu, a proto bylo mv² logicky obětováno, aby v říši matematiky opět přeměněno vstalo z mrtvých.

Správného je v tom tolik: Catelanova argumentace tvoří jeden z mostu, který spojuje mv² s mv, a tím je významná.

Mechanikové po ďAlembertovi neuznali nikterak jeho „suverénní řešení”, neboť jeho konečné rozhodnutí bylo přece ve prospěch mv jako míry pohybu. Drželi se právě toho výrazu, který dal d’Alembert rozlišení mrtvých a živých sil, provedenému už Leibnizem: pro rovnováhu, tedy pro statiku, platí mv, pro zpomalený pohyb, tedy pro dynamiku, platí mv². Ačkoli toto rozlišení je vcelku správné, nemá více smyslu než ono pověstné poddůstojnické rozhodnutí: ve službě vždycky „mně”, mimo službu vždycky „mne”^[10]. Bere se mlčky na vědomí, je to už tak jednou zařízeno, nemůžeme to změnit, a je-li ve dvojí míře pohybu rozpor, co můžeme dělat?

Tak na př. Thomson and Tait, „A Treatise on Natural Philosophy”, Oxford 1867,^[11] str. 162: „The quantity of motion or the momentum of a rigid body moving without rotation is proportional to its mass and velocity conjointly. Double mass or double velocity would correspond to double quantity of motion” [„Množství pohybu neboli hybnost tuhého tělesa, pohybujícího se bez otáčení, je úměrná současně jeho hmotě a rychlosti. Dvojitá hmota nebo dvojitá rychlost odpovídá dvojitému množstvípohybu”]. A hned za tím: „The vis viva or kinetic energy of a moving body is proportional to the mass and the square of the velocity conjointly” [„Vis viva, neboli kinetická energie pohybujícího se tělesa je úměrná hmotě a čtverci rychlosti”].

V této zcela příkré formě jsou zde obě si odporující míry pohybu postaveny vedle sebe. Nečiní se ani nejmenší pokus tento rozpor nějak vysvětlit nebo třeba jen zastřít. Myšlení je v této knize obou Skotů zakázáno, smí se jen počítat. Není divu, že se alespoň jeden z nich, Tait, počítá k nejpravověrnějším křesťanům pravověrného Skotska.

V Kirchhoffových přednáškách o matematické mechanice se vzorce mv ani mv² v této formě vůbec nevyskytují.

Snad nám pomůže Helmholtz. Ve spise „Erhaltung der Kraft”^[12] navrhuje vyjadřovat živou sílu pomocí bod, k němuž se ještě vrátíme. Pak vypočítává (na str. 20 a násl.) stručně případy, ve kterých princip zachování živé síly (tedy ) byl již použit a uznán. K tomu patří pod číslem 2: „Přenášení pohybů nestlačitelnými tuhými nebo tekutými tělesy, pokud nenastane tření nebo náraz nepružných látek. Náš obecný princip se v tomto případě vyslovuje jako pravidlo, že pohyb, přenášený nebo pozměněný mechanickými prostředky, ztrácí vždy intensitu síly v témž poměru, v jakém nabývá rychlosti. Mysleme si závaží m zdvíháno rychlostí c nějakým strojem, v němž se určitým pochodem rovnoměrně vyrábí práce; pak bude možno nějakým jiným mechanickým zařízením zdvíhat závaží nm, ale rychlostí c/n, takže v obou případech množství strojem vyrobené tažné síly za jednotku času bude mgc, kde g je intensita tíže”^[13].

Také zde rozpor, že „intensita síly”, které ubývá a přibývá v jednoduchém poměru k rychlosti, má sloužit k důkazu zachování intensity síly, které ubývá a přibývá s čtvercem rychlosti.

Ukazuje se zde sice, že mv a mv²/2 slouží k určování dvou zcela rozdílných pochodů, ale to jsme už dávno věděli, neboť mv² nemůže přece být rovno mv, není-li náhodou v = 1. Jde o to, abychom si vyjasnili, proč má pohyb dvojí míru, věc, která je ve vědě zrovna tak nepřípustná jako v obchodě. Zkusme to tedy jinak.

Výrazem mv se tedy měří „pohyb přenášený nebo pozměněný mechanickými prostředky”; tato míra tedy platí pro páku a všechny její odvozené formy, kola, šrouby atd., prostě pro všechna transmisní zařízení. Nyní se však ukáže úvahou zcela jednoduchou a nikterak novou, že zde, pokud platí mv, má význam také mv². Vezměme nějaké mechanické zařízení, v němž součty ramen pák na obou stranách jsou v poměru 4:1; na němž tedy závaží 1 kg je v rovnováze se závažím 4 kg. Přidáním zcela nepatrné síly na jednom rameni páky zvedneme 1 kg do výše 20 metrů; přidáním téže síly na druhém rameni páky zvedneme 4 kg o pět metrů a závaží, držící rovnováhu, klesne v témže čase, který druhé potřebuje k vystoupení. Hmoty a rychlosti jsou nepřímo úměrné: mv, l X 20 = m'v', 4 X 5. Necháme-li naproti tomu každé závaží, jakmile bylo zvednuto, volně spadnout do původní polohy, nabude jedno závaží, 1 kg, po proběhnutí dráhy 20 metrů, rychlosti zhruba 20 m/sec. (klademe zrychlení tíže rovno zhruba 10 metrů, místo 9,81); druhé závaží, 4 kg, na dráze 5 metrů nabude rychlosti 10 m/sec.^[14]

mv² = 1 x 20 x 20 = 400 = m' v'²= 4 x 10 x 10 = 400.

Naproti tomu doby pádů jsou rozdílné: 4 kg proběhnou svých 5 metrů za jednu vteřinu, 1 kg 20 metrů ve dvou vteřinách. Tření a odpor vzduchu samozřejmě zanedbáváme.

Když tedy obě tělesa spadla se své výše, jejich pohyb ustal. Zde se tedy mv ukazuje jako míra jednoduše přenášeného, tedy trvajícího pohybu, mv² jako míra mechanického pohybu zmizelého.

Dále. Při nárazu těles dokonale pružných platí totéž. „součet mv i součet mv² jsou před nárazem i po něm nezměněny. Obě míry mají tedy stejnou platnost.

Jinak je tomu při nárazu nepružných těles. Zde nás poučují běžné elementární učebnice (vyšší mechanika se takovými maličkostmi téměř už nezabývá), že rovněž součet mv je stejný po nárazu jako před ním. Naproti tomu dochází ke ztrátě živé síly, neboť odečteme-li součet mv² po nárazu od součtu mv² před nárazem, zůstane nám vždy kladný zbytek; o toto množství (nebo jeho polovinu, podle pojetí) se živá síla zmenšuje vzájemným proniknutím, jakož i změnou tvaru srazivších se těles. - To je jasné a očividné. Jasné však není první tvrzení, že součet mv zůstává stejný po nárazu i před ním. Živá síla je, navzdory Suterovi, pohyb, a je-li její část ztracená, je ztracen i pohyb. Z toho plyne, že buď mv zde nesprávně vyjadřuje množství pohybu, nebo je hořejší tvrzení nesprávné. Vůbec celá tato poučka pochází z doby, kdy o přeměně pohybu neměl nikdo ani tušení; kdy se tedy přiznávalo, že mechanický pohyb mizí, jen tam, kde už to jinak nešlo. Tak se zde rovnost součtu mv před nárazem a po něm dokazuje tím, že se tento součet nikde ani nezmenšuje, ani nezvětšuje. Jestliže však tělesa ztrácejí vnitřním třením, odpovídajícím jejich nepružnosti, živou sílu, pak ztrácejí i rychlost, a součet mv musí být po nárazu menší než před ním. Neboť není přece možné nevšímat si vnitřního tření při výpočtu mv, když se při výpočtu mv² tak zřetelně uplatňuje.

Ostatně to na věci nic nemění. I kdybychom tuto poučku uznali a vypočetli rychlost po nárazu za předpokladu, že součet mu zůstává stejný, přece pak shledáme úbytek v součtu mv². Zde se tedy mv a mv² dostávají do konfliktu, a to o rozdíl skutečně zmizelého mechanického pohybu. A výpočet sám dokazuje, že součet mv² vyjadřuje celkové množství pohybu správně, kdežto součet mv nesprávně.

To jsou tak skoro všechny případy, kdy se v mechanice používá mv. Podívejme se na některé případy, kde se používá mv².

Je-li vystřelena dělová střela, pak spotřebuje na své dráze množství pohybu, které je úměrné mv², ať už narazí na pevný cíl, nebo je zastavena odporem vzduchu a tíží. Jestliže najede vlak na jiný vlak, stojící, jsou náraz a odpovídající zničení úměrné jeho mv². Rovněž tak platí mv² při výpočtu každé mechanické síly, nutné k překonání nějakého odporu.

Co však znamená tento pohodlný, mechanikům tak běžný obrat: překonání odporu?

Překonáváme-li zvedáním závaží odpor tíže, zmizí přitom určité množství pohybu, určité množství mechanické síly, které je rovné onomu množství, jež může být znovu vyrobeno přímým nebo nepřímým pádem zvednutého závaží se získané výšky na původní výši. Měří se polovičním součinem hmoty závaží a čtverce konečné rychlosti získané pádem . Co se tedy při zvedání stalo? Zmizel mechanický pohyb čili mechanická síla jako taková. Ale nezměnila se v nic: změnila se, abychom použili Helmholtzova výrazu, v mechanickou tažnou sílu: v potenciální energii, jak říkají novější autoři; v ergal, jak to nazývá Clausius, a může být kdykoli libovolným mechanicky přípustným způsobem proměněna zpět v totéž množství mechanického pohybu, které bylo nutné k jejímu získání. Potenciální energie je jen negativní výraz pro živou sílu a naopak.

24librová dělová koule narazí rychlostí 400 metrů za vteřinu na ocelovou stěnu válečné lodi silnou jeden metr a nemá za těchto podmínek žádný viditelný účinek na pancíř. Zmizel tedy mechanický pohyb, který je roven t.j., poněvadž 24 liber rovná se 12 kg^[15], rovná se 12 x 400 x 400 x ¹/₂ = 960.000 kilogrammetrů. Co se s tímto pohybem stalo? Malá část jeho se proměnila v rozkmitání a přemístění molekul pancíře. Druhá část se upotřebila na roztříštění náboje na nesčetné úlomky. Největší díl se však proměnil v teplo a ohřál kouli do žhava. Když Prušáci při přepravě na ostrov Alsen roku 1864 spustili své těžké baterie proti pancéřovým stěnám „Rolfa Krakeho”,^[16] viděli v temnotě při každém zásahu zazáření náhle rozžhavené střely a Whitworth dokázal již dříve pokusy, že výbušné náboje proti obrněným lodím nepotřebují zapalovač: rozžhavený kov sám zapálí výbušnou nálož. Rovná-li se mechanický ekvivalent jednotky tepla 424 kgm, odpovídá hořejší množství mechanického pohybu tepelnému množství 2264 tepelných jednotek. Specifické teplo železa je 0,1140; t. j. množství tepla, které ohřeje vodu váhy 1 kg o jeden stupeň (což platí jako jednotka tepla), stačí k ohřátí 1 / 0,1140 = 8,772 kg železa o 1°C. Našich 2264 jednotek tepla ohřeje tedy 1 kg železa o 8,772 x 2264 = 19860°C nebo 19860 kg železa o 1°C. Protože se toto množství tepla rozdělí rovnoměrně na pancíř a náboj, je náboj ohřát o 19860°/2 x 12 = 828°C, což už je docela hezký žár. Poněvadž přední, narážející část dostane daleko největší díl tepla, snad dvakrát tolik co zadní část, je ohřáta na 1104°C, kdežto zadní část jen na 552° C; to na vysvětlení světelného efektu zcela stačí, i když musíme zavést značnou korekcí na mechanickou práci, skutečně vykonanou při nárazu.

Při třeni mizí rovněž mechanický pohyb, aby se opět objevil jako teplo. Jak známo, podařilo se po prvé Joulovi v Manchestru a Coldingovi v Kodani co nejpřesnějším měřením obou si odpovídajících pochodů stanovit experimentálně přibližný mechanický ekvivalent tepla.

Podobně je tomu při výrobě elektrického proudu v magnetoelektrickém stroji pomocí mechanické síly, na př. parního stroje. Množství t. zv. elektromotorické síly, vyrobené v určitém časovém intervalu, je úměrné a - vyjádřeno v těchže jednotkách míry - rovné množství mechanického pohybu spotřebovaného v téže době. To si můžeme myslet vyrobeno raději závažím, klesajícím vlivem tlaku tíže, a ne parním strojem. Mechanická síla, kterou je toto závaží schopno vydat, měří se onou živou silou, kterou by obdrželo, kdyby volně padalo se stejné výše, nebo silou, jíž by bylo třeba, aby je do téže výše opět vyzvedla: v obou případech .

Vidíme tedy, že mechanický pohyb má sice dvojí míru, ale současně, že každá tato míra platí pro velmi určitě ohraničenou řadu zjevů. Jestliže je již existující mechanický pohyb přenášen tím způsobem, že je jako mechanický pohyb zachován. Tlak je přenášen podle vzorce o součinu hmoty a rychlosti. Je-li však přenášen tak, že jako mechanický pohyb mizí, aby se znovu objevil ve formě potenciální energie, tepla, elektřiny atd., je-li zkrátka proměňován v jinou formu pohybu, pak je množství této nové formy úměrné součinu původně se pohybující hmoty a čtverce rychlosti. Krátce: mv je mechanický pohyb, měřený mechanickým pohybem, je mechanický pohyb, měřený svou schopností proměnit se v určité množství jiné formy pohybu. A že si tyto dvě míry, ačkoli odlišné, přece jenom neodporuji, to jsme už viděli.

Ukazuje se tedy, že Leibnizův spor s descartovci nebyl nikterak jen spor slovní a že d’Alembertovo „suverénní řešení” ve skutečnosti nic nevyřešilo. D’Alembert si mohl ušetřit své tirády o nejasnosti názorů svých odpůrců, protože je právě tak nejasný, jako oni. A skutečně, pokud jsme nevěděli, co se stane se zdánlivě zmizelým mechanickým pohybem, musilo nám to zůstávat nejasné. A pokud matematičtí mechanikové, jako Suter, zůstává jí zatvrzele v zajetí čtyř stěn své speciální vědy, panuje v jejich hlavách stejná nejasnost jako u d’Alemberta a musí nás odbývat prázdnými a rozporu plnými průpovídkami.

Jak však vyjadřuje novodobá mechanika tuto proměnu mechanického pohybu v jinou formu pohybu úměrnou jí co do množství? - Mechanický pohyb vykonal práci - říká mechanika - a to totik a tolik práce.

Avšak pojem práce ve fysikálním smyslu není tím nikterak vyčerpán. Jestliže se - jako v parním nebo jiném tepelném stroji - proměňuje teplo v mechanický pohyb, t. j. jestliže se molekulární pohyb proměňuje v pohyb hmot, jestliže teplo rozkládá nějakou chemickou sloučeninu, jestliže se v thermočlánku proměňuje v elektřinu, jestliže elektrický proud vylučuje prvky vody ze zředěné kyseliny sírové, jestliže naopak pohyb (alias energie), uvolněný při chemickém procesu v galvanickém článku, bere na sebe formu elektřiny a ta se opět v uzavřeném okruhu proměňuje v teplo - při všech těchto pochodech forma pohybu, která je procesem vyvolána a proměňována na jinou, koná práci, a to v množství odpovídajícím jejímu vlastnímu množství.

Práce je tedy změna formy pohybu, brána se své kvantitativní stránky.

Ale jak? Necháme-li zdvižené závaží klidně viset, je jeho potenciální energie za klidu také formou pohybu? Zajisté. Dokonce Tait dospěl k přesvědčení, že potenciální energie se nakonec promění v nějakou formu skutečného pohybu („Nature”, XIV, 459)^[17]. A nehledě na to, Kirchhoff jde ještě dále, když říká („Math. Mech.”, str. 32)^[18]: „Klid je zvláštní případ pohybu,” a dokazuje tím, že umí nejen počítat, ale i dialekticky myslit.

Pojem práce, který nám byl líčen tak těžko pochopitelný bez matematické mechaniky, vyplynul nám zcela mimochodem, hravě a skoro sám sebou, ze zkoumání dvou měr mechanického pohybu. A v každém případě víme teď o něm více, než jsme se dověděli z Helmholtzovy přednášky ,,O zachování síly” z roku 1862, kde si právě klade za cíl co možno vyjasnit „základní fysikální pojmy práce a její neměnnosti”. Všechno, co se tu o práci dovídáme, je, že je to něco, co se měří v liberstopách nebo také v tepelných jednotkách, a že tento počet liberstop nebo tepelných jednotek je neproměnný pro určité množství práce. Dále, že kromě mechanických sil a tepla mohou konat práci též chemické a elektrické síly, že však všechny tyto síly vyčerpávají svou schopnost konal práci tou měrou, jakou ji skutečně konají. A že z toho plyne: součet všech množství síly schopných působení v přírodě jako celku zůstává při všech proměnách přírody věčně a neproměnně týž. Pojem práce není u Helmholtze rozvinul, ani definován.^[*23] A je to právě tato kvantitativní neproměnnost velikosti práce, která mu brání vidět, že kvalitativní změna formy je základní podmínkou veškeré fysikální práce. A tak může Helmholtz dojít k tvrzení: „Tření a nepružný ráz jsou pochody, při nichž se ničí mechanická práce^[20] a je za to vyráběno teplo” („Populäire Vorträge”, II, str. 166). Právě naopak, zde se mechanická práce neničí, zde se mechanická práce koná. Mechanický pohyb je to, který se zde zdánlivě ničí. Ale mechanický pohyb nemůže nikde a nikdy vykonat ani miliontinu kgm práce, aniž je jako takový ničen, aniž se proměnil v jinou formu pohybu.

Schopnost práce, která vězí v určitém množství mechanického pohybu, se nazývá, jak jsme viděli, jeho živou silou a měřila se do nedávna pomocí mv². Zde však vznikl nový rozpor. Poslechněme si Helmholtze („Erhaltung der Kraft”, str. 9). Říká se tu, že velikost práce může být vyjádřena pomocí závaží m, zdviženého do výše h, a je-li pak tíže vyjádřena v g, rovná se velikost práce mgh. Aby závaží m vystoupilo kolmo do výše h, potřebuje nabýt rychlosti v = a tuto rychlost opět při pádu získá. Je tedy mgh = a Helmholtz navrhuje „označit přímo veličinu jako kvantitu živé síly, čímž se stává identickou s mírou velikosti práce. Pro dosavadní použití pojmu živé síly je... toto pozměnění bez významu, kdežto nadále nám zaručuje podstatné výhody”.

Nechce se nám tomu ani věřit. Tak nejasný je Helmholtzovi roku 1847 vzájemný vztah mezi živou silou a prací, že vůbec nepozoruje, jak dosavadní proporcionální míru živé síly proměňuje v absolutní; že si vůbec neuvědomuje, jaký důležitý objev tu učinil svým odvážným zásahem: doporučuje své místo mv² jen proto, že je to pohodlnější! A z pohodlnosti si mechanikové zvykli na . Teprve postupně bylo potvrzeno také matematicky; algebraické odvození nalézáme u Naumanna, „Allg. Chemie”^[21], str. 7, analytické pak u Clausia, „Mechanische Wärmetheorie”, 2. vyd., I, str. 18^[22], které bylo pak jinak odvozeno a rozvedeno u Kirchhoffa (cit. spis, str. 27).

Pěkné algebraické odvození z mv dává Clerk Maxwell, „Theory of Heat”, str. 88. Což našim oběma Skotům Thomsonovi a Taitovi nevadí, aby netvrdili (cit. spis, str. 163): „The vis viva or kinetic energy of a moving body is proportional to the mass and the square of the velocity conjointly. If we adopt the same units of mass as before (i. e. unit of mass moving with unit velocity) there is a particular advantage in defining kinetic energy as half the product of the mass and the square of velocity” [„Vis viva, neboli kinetická energie pohybujícího se tělesa je úměrná jeho hmotě a současně čtverci jeho rychlosti. Přijmeme-li stejné jednotky hmoty jako dříve (totiž jednotku hmoty pohybující se jednotkou rychlosti), je zvlášť výhodné^[23] definovat kinetickou energii jako poloviční součin hmoty a čtverce rychlosti”]. Zde tedy u obou předních mechaniků Skotska ustalo nejen myšlení, ale i počítání. Zvláštní výhodnost, vhodnost vzorce spraví vše nejlépe.

Pro nás, kteří jsme viděli, že živá síla není nic jiného než schopnost daného množství mechanického pohybu konat práci, je samozřejmé, že vyjádření schopnosti konat práci v mechanické míře a jí vyjádřená skutečně vykonaná práce si musí být rovny; že tedy, když nám měří práci, živá síla musí být rovněž měřena v mv²/2. Ale tak už to chodí ve vědě. Theoretická mechanika přišla na pojem živé síly, praktická mechanika inženýrů na pojem práce a vnutila ho theoretikům. A tak jsme si při počítání odvykli myslit, že jsme po dlouhá léta nepřišli na jejich vzájemný vztah, jedno jsme měřili v mv², druhé v , a konečně přijali pro oboje nikoli z přesvědčení, nýbrž pro jednoduchost počítání.^[*24]